TEST  XX.Klassenarbeit Mathematik  11.11.1111

Name:

1.1.

Definieren Sie die folgenden Begriffe: Lineare Hülle, Erzeugendensystem, Basis, Koordinate, Dimension.

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2.

Im R^{3} sind die folgenden Vektoren gegeben:

a⃗ = ( \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} ) , b⃗ = ( \begin{matrix}4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , c⃗ = ( \begin{matrix}8 \\ −2 \\ −3 \end{matrix} )

2.1 Untersuchen Sie, ob die Vektoren linear abhängig sind.

2.2 Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis des von a⃗, b⃗, c⃗ erzeugten Untervektorraumes U.

2.3 Untersuchen Sie, ob der Vektor ( \begin{matrix}4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) in U liegt.

2.4 Bestimmen Sie die Koordinaten von c⃗ bezüglich der in 2.2 bestimmten Basis.  10

3.

Im R^{3} sind die folgenden Punkte gegeben:

P_{1}(3/1/4),  P_{2}(2/2/0),  P_{3}(1/1/0),  P_{4}(2/0/2).
3.1 Zeigen Sie, daß die Geraden P_{1}P_{2} und P_{3}P_{4} windschief sind.

3.2 Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E_{0} durch den Ursprung, die zu den Geraden P_{1}P_{2} und P_{3}P_{4} parallel ist.

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4.

Im R^{3} sind die folgenden Punkte gegeben:

A(1/2/ − 1),  B(1/5/ − 1),  C(−9/2/ − 1),  D(1/ − 4/3).
4.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E durch die Punkte A, B, C.

4.2 Untersuchen Sie, ob der Punkt D in E liegt und bestimmen Sie gegebenenfalls seine affinen Koordinaten bezüglich E.

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Punkte

Punkte: Note: