Maxima Manual: Введение в пакет distrib

Next: Функции и переменные для непрерывных распределений, Previous: Пакет distrib, Up: Пакет distrib [Contents][Index]

### 45.1 Введение в пакет distrib

Пакет `distrib` включает набор функций для вероятностных вычислений с дискретными и непрерывными распределениями одной переменной.

Далее следует краткий обзор основных понятий по вероятностным распределениям.

Пусть f(x) есть функция плотности вероятности непрерывной случайной величины X. Тогда функция распределения определяется как

                           x
                          /
                          [
                   F(x) = I     f(u) du
                          ]
                          /
                           minf

что равно вероятности Pr(X <= x)

Среднее значение характеризует локализацию и определено как

                         inf
                        /
                        [
               E[X]  =  I   x f(x) dx
                        ]
                        /
                         minf

Дисперсия характеризует изменчивость распределения

                     inf
                    /
                    [                    2
             V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
                    ]
                    /
                     minf

что есть положительное вещественное число. Квадратный корень дисперсии называется стандартным отклонением, D[X]=sqrt(V[X]), и является иной мерой изменчивости.

Коэффициент асимметрии является мерой асимметрии распределения

                     inf
                    /
                1   [                    3
      SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
                  3 ]
              D[X]  /
                     minf

Коэффициент куртозиса является мерой остроты распределения

                     inf
                    /
                1   [                    4
      KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
                  4 ]
              D[X]  /
                     minf

Если случайная величина X гауссова, то KU[X]=0. Фактически, коэффициенты асимметрии и куртозиса являются параметрами формы и измеряют степень не-гауссовости распределения.

Если случайная переменная X является дискретной, то плотность, или вероятность, f(x) принимает положительные значения на некотором счетном множестве чисел x_i, и равна нулю в противном случае. В этом случае функция распределения есть

                           ====
                           \
                    F(x) =  >    f(x )
                           /        i
                           ====
                          x <= x
                           i

А среднее, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициенты асимметрии и куртозиса имеют вид

                           ====
                           \
                    E[X] =  >  x  f(x ) ,
                           /    i    i
                           ====
                            x
                             i

                    ====
                    \                     2
            V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
                    /        i    i
                    ====
                     x
                      i

                   D[X] = sqrt(V[X]),

                         ====
                  1      \                     3
      SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])
               D[X]^3    /        i    i
                         ====
                          x
                           i

и

                         ====
                  1      \                     4
      KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
               D[X]^4    /        i    i
                         ====
                          x
                           i

соответственно.

Пакет `distrib` включает функции для моделирования случайных переменных. Некоторые из этих функций используют управляющие переменные, указывающие используемый алгоритм. В большинстве случаев реализован общий метод обращения, который основан на факте, что если u случайная величина с равномерным распределением в интервале (0,1), то F^(-1)(u) есть случайная величина с распределением F. Этот метод недостаточно эффективен с точки зрения времени вычисления, но полезен для сравнения с другими алгоритмами. В этом примере сравнивается производительность алгоритмов `ahrens_cheng` и `inverse` при вычислении гистограмм для Хи-квадрат случайной переменной:

    (%i1) load("distrib")$
    (%i2) load("descriptive")$
    (%i3) showtime: true$
    Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 32 bytes.
    (%i4) random_chi2_algorithm: 'ahrens_cheng$
                                           histogram(random_chi2(10,500))$
    Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 40 bytes.
    Evaluation took 0.69 seconds (0.71 elapsed) using 5.694 MB.
    (%i6) random_chi2_algorithm: 'inverse$ histogram(random_chi2(10,500))$
    Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 32 bytes.
    Evaluation took 10.15 seconds (10.17 elapsed) using 322.098 MB.

Для визуального сравнения алгоритмов для дискретных переменных можно использовать функцию `barsplot` пакета `descriptive`.

Заметим, что еще требуется проделать некоторую работу, поскольку данные модельные распределения еще не проверены более строгими оценками качества совпадения.

За более детальной информацией по поводу данных математических объектов, пожалуйста, обратитесь к любому вводному руководству по вероятности и статистике.

Имена функций пакета `distrib` следуют определенному соглашению. Каждое имя состоит из двух частей – первая определяет функцию или параметр, которое необходимо вычислить.

    Функции:
       Плотность вероятности           (pdf_*)
       Распределение                   (cdf_*)
       Квантиль                        (quantile_*)
       Среднее значение                (mean_*)
       Дисперсия                       (var_*)
       Стандартное отклонение          (std_*)
       Коэффициент асимметрии          (skewness_*)
       Коэффициент куртозиса           (kurtosis_*)
       Случайная переменная (variate)  (random_*)

Вторая часть определяет тип распределения.

    Непрерывные распределения:
       Нормальное                  (*normal)
       Стьюдента                   (*student_t)
       Хи-квадрат                  (*chi2)
       F                           (*f)
       Экспоненциальное            (*exp)
       Логнормальное               (*lognormal)
       Гамма                       (*gamma)
       Бета                        (*beta)
       Равномерное неприрывное     (*continuous_uniform)
       Логистическое               (*logistic)
       Парето                      (*pareto)
       Вейбулла                    (*weibull)
       Релея                       (*rayleigh)
       Лапласа                     (*laplace)
       Коши                        (*cauchy)
       Гумбеля                     (*gumbel)

    Дискретные распределения:
       Биномиальное                (*binomial)
       Пуассона                    (*poisson)
       Бернулли                    (*bernoulli)
       Геометрическое              (*geometric)
       Равномерное дискретное      (*discrete_uniform)
       Гипергеометрическое         (*hypergeometric)
       Отрицательное биномиальное  (*negative_binomial)

Например, `pdf_student_t(x,n)` – плотность распределения Стьюдента с n степенями свободы, `std_pareto(a,b)` – стандартное отклонение распределения Парето с параметрами a и b, и `kurtosis_poisson(m)` – коэффициент куртозиса распределения Пуассона со средним m.

Для использования пакет `distrib` необходимо загрузить командой

    (%i1) load("distrib")$

Для комментариев, сообщений об ошибках и предложений обращайтесь к автору пакета по адресу ’mario AT edu DOT xunta DOT es’.

Next: Функции и переменные для непрерывных распределений, Previous: Пакет distrib, Up: Пакет distrib [Contents][Index]