Maxima branch_5_47_base_7_g39559bd_dirty Manual: Bessel Functions

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### 15.2 Bessel Functions

関数: bessel_j (v, z)

  次数vと独立変数zの第一種ベッセル関数。

  `bessel_j`は以下のように定義されます。

                      inf
                      ====       k  - v - 2 k  v + 2 k
                      \     (- 1)  2          z
                       >    --------------------------
                      /        k! gamma(v + k + 1)
                      ====
                      k = 0

  計算のために無限級数は使われませんが。

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関数: bessel_y (v, z)

  次数vと独立変数zの第二種ベッセル関数

  vが整数でない時、 `bessel_y`は以下のように定義されます。

                    cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
                    -------------------------------------------
                                   sin(%pi v)

  vが整数nの時、 vがnに近づく極限が取られます。

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関数: bessel_i (v, z)

  次数v、独立変数zの第一種変形ベッセル関数

  `bessel_i`は以下のように定義されます。

                          inf
                          ====   - v - 2 k  v + 2 k
                          \     2          z
                           >    -------------------
                          /     k! gamma(v + k + 1)
                          ====
                          k = 0

  無限級数は計算には使われませんが。

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関数: bessel_k (v, z)

  次数v、独立変数zの第二種変形ベッセル関数

  vが整数の時 `bessel_k`は以下のように定義されます。

                 %pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
                 -------------------------------------------------
                                        2

  もしvが整数nでないなら、 vがnに近づく極限が取られます。

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関数: hankel_1 (v, z)

  次数v、独立変数zの第一種ハンケル関数 (A&S 9.1.3)。 `hankel_1`は以下のように定義されます。

         bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)

  Maximaは、 浮動小数点精度の実数次数vと複素独立変数zに対して `hankel_1`を数値的に評価します。 多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数vはサポートされていません。

  `besselexpand`が`true`の時、 次数vが奇数の1/2の時`hankel_1`は初等関数の項に展開されます。 `besselexpand`を参照してください。

  Maximaは`hankel_1`の独立変数zに関する導関数を知っています。

  例:

  数値評価:

      (%i1) hankel_1(1,0.5);
      (%o1)              .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i
      (%i2) hankel_1(1,0.5+%i);
      (%o2)             - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016

  複素次数vはサポートされていません。 Maximaは名詞形を返します:

      (%i3) hankel_1(%i,0.5+%i);
      (%o3)                       hankel_1(%i, %i + 0.5)

  `besselexpand`が`true`の時の`hankel_1`の展開:

      (%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
                            sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
      (%o4)                 ----------------------------------
                                    sqrt(%pi) sqrt(z)

  `hankel_1`の独立変数zに関する導関数。 次数vに関する導関数はサポートされていません。 Maximaは名詞形を返します:

      (%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
                          hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
      (%o5)               ---------------------------------------
                                             2
      (%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
                                   d
      (%o6)                        -- (hankel_1(v, z))
                                   dv

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関数: hankel_2 (v, z)

  次数v、独立変数zの第二種ハンケル関数 (A&S 9.1.4)。 `hankel_2`は以下のように定義されます。

         bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)

  Maximaは、 浮動小数点精度の実数次数vと複素独立変数zに対して `hankel_2`を数値的に評価します。 多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数vはサポートされていません。

  `besselexpand`が`true`の時、 次数vが奇数の1/2の時`hankel_2`は初等関数の項に展開されます。 `besselexpand`を参照してください。

  Maximaは`hankel_2`の独立変数zに関する導関数を知っています。

  例は`hankel_1`を参照してください。

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オプション変数: besselexpand

  デフォルト値: `false`

  次数が半奇数の時のベッセル関数の展開を制御します。 この場合、ベッセル関数は他の初等関数で展開することができます。 `besselexpand`が`true`の時、 ベッセル関数は展開されます。

      (%i1) besselexpand: false$
      (%i2) bessel_j (3/2, z);
                                          3
      (%o2)                      bessel_j(-, z)
                                          2
      (%i3) besselexpand: true$
      (%i4) bessel_j (3/2, z);
                                              sin(z)   cos(z)
                             sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
                                                 2       z
                                                z
      (%o4)                  ---------------------------------
                                         sqrt(%pi)

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関数: scaled_bessel_i (v, z)

  次数v、独立変数zのスケールされた第一種変形ベッセル関数。 すなわち、scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)。 この関数は、大きなzに関するbessel_i―これはおおきくなりますーの計算に 特に役に立ちます。 しかしながら、そうでなければ、Maximaはこの関数についてあまり知りません。 数式処理のためには、式`exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)`を使って取り組むのが多分望ましいです。

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関数: scaled_bessel_i0 (z)

  `scaled_bessel_i(0,z)`と同一です。

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関数: scaled_bessel_i1 (z)

  `scaled_bessel_i(1,z)`と同一です。

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関数: %s [u,v] (z)

  Lommelの小s[u,v](z)関数。 多分Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.

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