Maxima 5.46.0 Manual: Functions and Variables for Symmetries

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### 30.2 Functions and Variables for Symmetries

#### 30.2.1 Changing bases

関数: comp2pui (n, L)

  リストLで与えられた与えられた完全対称関数から 0からnまでの基本対称関数にパスすることを実装します。 もしリストLが n+1個より少ない要素を含むなら、 タイプh1, h2などの 形式的な値で完成されます。 もし リストLの最初の要素が存在するなら、 それはアルファベットのサイズを指定します。 そうでないなら、サイズはnに設定されます。

      (%i1) comp2pui (3, [4, g]);
                              2                    2
      (%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]

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関数: ele2pui (m, L)

  基本対称関数から完全関数に行きます。 `comp2ele`や`comp2comp`に似ています。

  基数を変える他の関数: `comp2ele`.

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関数: ele2comp (m, L)

  基本対称関数から完全関数に行きます。 `comp2ele`や`comp2pui`に似ています。

  基数を変える他の関数: `comp2ele`.

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関数: elem (ele, sym, lvar)

  リストlvarに含まれる変数に関して、 リストeleで与えられた基本対称関数を使って、 対称多項式symを分解します。 もしeleの最初の要素が与えられたら、 アルファベットのサイズで、 そうでないなら、サイズは多項式symの次数です。 もし値がリストeleになければ、 タイプe1, e2などの形式的値が加えられます。 多項式symは３つの異なる形式で与えられます: contracted (`elem`はその時、デフォルト値1であるべきです), partitioned (`elem`は3であるべきです),または extended(すなわち、多項式全体, かつ、`elem`は2であるべきです)。 関数`pui`は同じ方法で使われます。

  サイズ3のアルファベットと値7を持つ最初の基本対称関数e1上で、 (ここで変数の２つにだけ依存する)短縮された形式がx^4-2*x*yである 3変数の対称多項式が以下のように基本対称関数で分解されます:

      (%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
      (%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3

                                               + (- 2 (49 - e2) - 2) e2

      (%i2) ratsimp (%);
                                    2
      (%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401

  基数を変える他の関数: `comp2ele`.

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関数: mon2schur (L)

  リストLは Schur関数S_Lを表します: we have i_1 <= i_2 <= ... <= i_q成るL = [i_1, i_2, ..., i_q] を持ちます。 Schur関数S_[i_1, i_2, ..., i_q]は、 最初のq個の行と列1 + i_1, 2 + i_2, ..., q + i_q から成る無限行列h_[i-j], i <= 1, j <= 1 の小行列式です。

  このSchur関数は `treinat`と`kostka`を使うことで 単項式の項で書かれることができます。 返される形式は、 変数 x_1,x_2,... の短縮表現の対称多項式です。

      (%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
      (%o1)                       x1 x2 x3

      (%i2) mon2schur ([3]);
                                        2        3
      (%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1

      (%i3) mon2schur ([1, 2]);
                                            2
      (%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2

  以上は、3つの変数に関してこれが与えることを意味します:

         2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
          + x2^2 x3 + x3^2 x2

  基数を変えるための他の関数: `comp2ele`.

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関数: multi_elem (l_elem, multi_pc, l_var)

  l_elemに含まれる基本対称関数を使って、リストl_varのリストに含まれる 変数のグループに関して、 多重対称多項式を 多重短縮形multi_pcに分解します。

      (%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3,
            [[x, y], [a, b]]);
                                                        3
      (%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1

      (%i2) ratsimp (%);
                               2                       3
      (%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1

  基数を変えるための他の関数: `comp2ele`.

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関数: multi_pui

  関数`multi_elem`が関数`elem`に対するものであるように、 関数`pui`に対するものです。

      (%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3,
            [[x, y], [a, b]]);
                                                  3
                                      3 p1 p2   p1
      (%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
                                         2       2

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関数: pui (L, sym, lvar)

  リストLの中のべき関数を使って、 リストlvarの中の変数に関して、 対称多項式symを分解します。 もしLの最初の要素が与えられるなら、 アルファベットのサイズです。 そうでないなら、サイズは多項式symの次数になります。 もしリストLの中に値がないなら、 タイプp1, p2 , などの形式的な値が加えられます。 多項式symは、 ３つの異なる形式で与えられることができます: contracted (`elem`は1でなければならず、デフォルト値です), partitioned (`elem`は3でなければいけません), extended (すなわち、多項式全体、そして`elem`は2でなければいけません)。 関数`pui`は同じ方法で使われます。

      (%i1) pui;
      (%o1)                           1

      (%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
                             2
                         a (a  - b) u   (a b - p3) u
      (%o2)              ------------ - ------------
                              6              3

      (%i3) ratsimp (%);
                                             3
                            (2 p3 - 3 a b + a ) u
      (%o3)                 ---------------------
                                      6

  Other functions for changing bases: `comp2ele`.

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関数: pui2comp (n, lpui)

  リストlpuiで与えられたべき関数を使って、 (最初に長さを持ち)最初のn個の完全関数のリストを返します。 もしリストlpuiが空なら、 基数はnで、 そうでないなら、基数は(`comp2ele`や`comp2pui`同様) 最初の要素です。

      (%i1) pui2comp (2, []);
                                             2
                                      p2 + p1
      (%o1)                   [2, p1, --------]
                                         2

      (%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
                                                  2
                                       a1 (p2 + a1 )
                               2  p3 + ------------- + a1 p2
                        p2 + a1              2
      (%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
                           2                  3

      (%i3) ratsimp (%);
                                  2                     3
                           p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
      (%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
                              2               6

  基数を変えるための他の関数: `comp2ele`.

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関数: pui2ele (n, lpui)

  べき関数から基本対称関数への変転に影響します。 もしフラグ`pui2ele`が`girard`なら、 1からnまでの基本対称関数のリストを返し、 もしフラグが`close`なら、 n番目の基本対称関数を返します。

  基数を変えるための他の関数: `comp2ele`.

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関数: puireduc (n, lpui)

  lpuiは 最初の要素が整数mのリストです。 `puireduc`は 最初のm個を使って最初のn個のべき関数を与えます。

      (%i1) puireduc (3, [2]);
                                               2
                                         p1 (p1  - p2)
      (%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
                                               2

      (%i2) ratsimp (%);
                                                 3
                                     3 p1 p2 - p1
      (%o2)              [2, p1, p2, -------------]
                                           2

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関数: schur2comp (P, l_var)

  Pはリストl_varの変数の多項式です。 これらの変数のそれぞれは完全対称関数を表します。 l_varの中で、 i番目の完全対称関数は 文字`h`と整数iの連結`hi`によって表されます。 この関数は PをSchur関数を使って表現します。

      (%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
      (%o1)                         s
                                     1, 2

      (%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
      (%o2)                         s  a
                                     3

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#### 30.2.2 Changing representations

関数: cont2part (pc, lvar)

  変数がlvarの中に含まれている短縮形pcに 関連付けられた分割多項式を返します。

      (%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
                                 3    4      5
      (%o1)                   2 a  b x  y + x

      (%i2) cont2part (pc, [x, y]);
                                         3
      (%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]

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関数: contract (psym, lvar)

  リストlvarに含まれる変数に関する 多項式psymの 短縮形(すなわち、対称群の作用の下での単項軌道)を返します。 関数`explose`は逆演算を実行します。 関数`tcontract`は多項式の対称性をテストします。

      (%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
               3      4      3      4      3    4        3    4
      (%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z

                                                 3      4      3    4
                                            + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y

      (%i2) contract (psym, [x, y, z]);
                                    3    4
      (%o2)                      2 a  b x  y

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関数: explose (pc, lvar)

  短縮形pcに関連付けられた対称多項式を返します。 リストlvarは変数を含みます。

      (%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
      (%o1)                  a z + a y + a x + 1

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関数: part2cont (ppart, lvar)

  対称式を分割形から短縮形に変換します。 短縮形はlvarの中の変数で表されます。

      (%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
                                    3    4
      (%o1)                      2 a  b x  y

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関数: partpol (psym, lvar)

  psymは リストlvarの変数に関する対称多項式です。 この関数は分割表現を返します。

      (%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
      (%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]

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関数: tcontract (pol, lvar)

  多項式polが リストlvarの変数に関して対称かテストします。 もしそうなら、関数`contract`のように短縮表現を返します。

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関数: tpartpol (pol, lvar)

  多項式polが リストlvarの中の変数に関して 対称かテストします。 もしそうなら 関数`partpol`のように 分割表現を返します。

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#### 30.2.3 Groups and orbits

関数: direct ([p_1, ..., p_n], y, f, [lvar_1, ..., lvar_n])

  変数lvar_1, ..., lvar_nのリストと 変数yについての多項式p_1, ..., p_nに関して、 関数fに関連付けられた順像 (M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze, ISSAC 1988, Romeを参照してください) を計算します。 関数fのアリティが計算にとって重要です。 例えば、 fについての式がある変数に依存しないなら、 この変数を含むことは役に立たず、含めなければ、 計算量を相当に減らすことにもなるでしょう。

      (%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
                    z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
             2
      (%o1) y  - e1 f1 y

                                       2            2             2   2
                        - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
                      + -----------------------------------------------
                                               2

      (%i2) ratsimp (%);
                    2                2                   2
      (%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1

      (%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
                    z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
             6            5         2                        2    2   4
      (%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y

                                3                               3   3
       + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y

               2       2        4    2
       + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2

                          2       2       2                   2    4
       + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )

        2          2                      2     3          2
       y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2

                       2            2    3                5
       + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y

                 2                   3           3     2   2    3
       + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2

               2      3                   3    2   2
       + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2

                         2    4        2   6
       + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1

  根が和a+uである多項式を見つけること。 ただし、aはz^2 - e_1 z + e_2の根で、 uはz^2 - f_1 z + f_2の根です。

      (%i1) ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
                                z, a + u, [[u], [a]]));
             4                    3             2
      (%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2

           2   2                              2               2
       + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1

                        2                     2            2
       - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1

           2
       + e2

  `direct`は２つのフラグを受け付けます: `elementaires`と`puissances` (デフォルト) これらは、計算の中に現れる対称多項式を それぞれ基本対称関数またはべき関数に分解することを許します。

  この関数で使われる`sym`の関数は以下の通りです:

  `multi_orbit` (だから`orbit`), `pui_direct`, `multi_elem` (だから`elem`), `multi_pui` (だから`pui`), `pui2ele`, `ele2pui` (もしフラグ`direct`が`puissances`の中にあれば)。

  Package sym ·

関数: multi_orbit (P, [lvar_1, lvar_2,..., lvar_p])

  Pは リストlvar_1, lvar_2, ..., lvar_pに含まれる 変数の集合に関する 多項式です。 この関数は これらpリストで表された変数の集合の対称群の積の作用の下で 多項式Pの 軌道を返します。

      (%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
      (%o1)                [b y + a x, a y + b x]

      (%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
      (%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]

  以下も参照してください: 単対称群の作用に関する`orbit`。

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関数: multsym (ppart_1, ppart_2, n)

  次数nの対称群の作用を法としてのみ働くことで、 n個の変数に関する２つの対称多項式の積を返します。 多項式は分割形式です。

  x, yに関する鵜２つの対称多項式: 分割形式が`[[3, 1], [2, 1, 1]]`と`[[5, 2]]`である `3*(x + y) + 2*x*y`と`5*(x^2 + y^2)` が与えられたとして、それらの積は、

      (%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
      (%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]

  、すなわち、`10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)`です。

  対称多項式の表現を変える関数は以下の通りです:

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract`, `tpartpol`。

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関数: orbit (P, lvar)

  リストlvarの変数の集合の対称群の作用の下で リストlvarの変数に関する多項式Pの軌道を計算します。

      (%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
      (%o1)                [a y + b x, b y + a x]

      (%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
                              2         2
      (%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]

  多項式に関する対称群の積の作用に関しては`multi_orbit`も参照してください。

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関数: pui_direct (orbite, [lvar_1, ..., lvar_n], [d_1, d_2, ..., d_n])

  fを 変数のn個のブロックlvar_1, ..., lvar_nに関する多項式とします。 c_iを lvar_iの中の変数の数とし、 SCを 次数c_1, ..., c_nの n個の対称群の積とします。 この群は自然にfに作用します。 リストorbiteは SCの作用の下での関数fの軌道で、`SC(f)`を意味します。 (このリストは 関数`multi_orbit`によって得られます。) diは c_1 <= d_1, c_2 <= d_2, ..., c_n <= d_n. を満たすような整数です。

  SDを 対称群 S_[d_1] x S_[d_2] x ... x S_[d_n] の積とします。 関数`pui_direct`は `SC(f)`のべき関数から演繹された `SD(f)`の 最初のn個のべき関数を返します。 ここで、nは`SD(f)`のサイズです。

  結果はSDに関する多重短縮された形式です。 すなわち、SDの作用の下で、軌道毎にただ１つの要素が保持されます。

      (%i1) l: [[x, y], [a, b]];
      (%o1)                   [[x, y], [a, b]]

      (%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
                                             2  2
      (%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]

      (%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
                                   2  2     2    2        3  3
      (%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x ,

          2  2  2  2      3    3        4  4
      12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x ,

          3  2  3  2      4    4        5  5
      10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x ,

          3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
      40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]

      (%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a],
            [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
                                   2              2
      (%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a ,

                       2                   3        2       2        3
                    9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]

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#### 30.2.4 Partitions

関数: kostka (part_1, part_2)

  P. Esperetによって書かれ、 分割part_1とpart_2のKostka数を計算します。

      (%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
      (%o1)                           6

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関数: lgtreillis (n, m)

  重みnと長さmの分割のリストを返します。

      (%i1) lgtreillis (4, 2);
      (%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]

  以下も参照してください: `ltreillis`, `treillis`, `treinat`。

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関数: ltreillis (n, m)

  重みnとm以下の長さの分割のリストを返します。

      (%i1) ltreillis (4, 2);
      (%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]

  以下も参照してください: `lgtreillis`, `treillis`, `treinat`。

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関数: treillis (n)

  重みnの分割すべてを返します。

      (%i1) treillis (4);
      (%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

  以下も参照してください: `lgtreillis`, `ltreillis`, `treinat`。

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関数: treinat (part)

  自然な順序に関する分割partより低い分割のリストを返します。

      (%i1) treinat ([5]);
      (%o1)                         [[5]]

      (%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
      (%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1],

                                                       [1, 1, 1, 1, 1]]

      (%i3) treinat ([3, 2]);
      (%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]

  以下も参照してください: `lgtreillis`, `ltreillis`, `treillis`。

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#### 30.2.5 Polynomials and their roots

関数: ele2polynome (L, z)

  根の基本対称関数が リスト`L = [n, e_1, ..., e_n]`の中にあるような zに関する多項式を返します。 ここでnは多項式の次数であり、 e_iはi番目の基本対称関数です。

      (%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
                                2
      (%o1)                    z  - e1 z + e2

      (%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
      (%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]

      (%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                        7       5       3
      (%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

  The inverse: `polynome2ele (P, z)`.

  Also see: `polynome2ele`, `pui2polynome`.

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関数: polynome2ele (P, x)

  リスト`l = [n, e_1, ..., e_n]`を与えます。 ここでnは 変数xに関する多項式Pの次数であり、 e_iは Pの根のi番目の基本対称関数です。

      (%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
      (%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]

      (%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                        7       5       3
      (%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

  逆: `ele2polynome (l, x)`

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関数: prodrac (L, k)

  Lは 集合A上の基本対称関数を含む リストです。 `prodrac`は、 根が Aの要素の k掛けるkの積の 多項式を返します。

  `somrac`も参照してください。

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関数: pui2polynome (x, lpui)

  根のべき関数がリストlpuiで与えられる xに関する多項式を計算します。

      (%i1) pui;
      (%o1)                           1

      (%i2) kill(labels);
      (%o0)                         done

      (%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
      (%o1)                     [3, 4, 5, 1]

      (%i2) ele2pui (3, %);
      (%o2)                     [3, 4, 6, 7]

      (%i3) pui2polynome (x, %);
                              3      2
      (%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1

  以下も参照してください: `polynome2ele`, `ele2polynome`。

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関数: somrac (L, k)

  リストLは 多項式Pの基本対称関数を含みます。 関数は 根がPの根のk掛けるkの別個の和である 多項式を計算します。

  `prodrac`も参照してください。

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#### 30.2.6 Resolvents

関数: resolvante (P, x, f, [x_1,..., x_d])

  変数x_1, ..., x_dで表現された関数fによって 次数n >= dの xに関する多項式P の解核を計算します。 計算の効率のため、 変換関数fに現れない変数の リスト`[x_1, ..., x_d]`に含まれないことが重要です。

  計算の効率を増すためには、 適切なアルゴリズムを使うように `resolvante`に関するフラグを設定することができます:

  もし関数fがユニタリなら:

  - 単変数の多項式,
  - 線形,
  - 交互の,
  - 和,
  - 対照的,
  - 積,
  - (次数5まで使用に向く)Cayley解核の関数

        (x1*x2 + x2*x3 + x3*x4 + x4*x5 + x5*x1 -
             (x1*x3 + x3*x5 + x5*x2 + x2*x4 + x4*x1))^2

    一般的,

  `resolvante`のフラグはそれぞれ:

  - unitaire,
  - lineaire,
  - alternee,
  - somme,
  - produit,
  - cayley,
  - generale.

      (%i1) resolvante: unitaire$

      (%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1,
            [x]);

      " resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840,
                               - 2772, 56448, - 33880,

      413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464,

      175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760]
        3       6      3       9      6      3
      [x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1,

       12      9      6      3       15      12       9       6      3
      x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x

             18      15       12       9       6      3
       - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1,

       21      18       15       12       9       6      3
      x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1]
      [- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011]
             7      6        5         4          3           2
      (%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y

                                                    + 376999 y + 125253

      (%i3) resolvante: lineaire$

      (%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante lineaire "
             24       20         16            12             8
      (%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000

      (%i5) resolvante: general$

      (%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante generale "
             24       20         16            12             8
      (%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000

      (%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);

      " resolvante generale "
             24       20         16            12             8
      (%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000

      (%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
             24       20         16            12             8
      (%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000

      (%i9) resolvante :lineaire$

      (%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante lineaire "
                                    4
      (%o10)                       y  - 1

      (%i11) resolvante: symetrique$

      (%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante symetrique "
                                    4
      (%o12)                       y  - 1

      (%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

      " resolvante symetrique "
                                 6      2
      (%o13)                    y  - 4 y  - 1

      (%i14) resolvante: alternee$

      (%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

      " resolvante alternee "
                  12      8       6        4        2
      (%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229

      (%i16) resolvante: produit$

      (%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante produit "
              35      33         29        28         27        26
      (%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

               24           23          22            21           20
       + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

                19           18             17              15
       - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

                   14              12             11            10
       - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

                    9            8            7             6
       - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

                  5             3
       - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907

      (%i18) resolvante: symetrique$

      (%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante symetrique "
              35      33         29        28         27        26
      (%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

               24           23          22            21           20
       + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

                19           18             17              15
       - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

                   14              12             11            10
       - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

                    9            8            7             6
       - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

                  5             3
       - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907

      (%i20) resolvante: cayley$

      (%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);

      " resolvante de Cayley "
              6       5         4          3            2
      (%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x

                                                             + 93392896

  Cayley解核に関して、最後の2つの引数は中立で、 入力多項式は必然的に次数5でなければいけません。

  以下も参照してください:

  `resolvante_bipartite`, `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`。

  Package sym ·

関数: resolvante_alternee1 (P, x)

  関数 product(x_i - x_j, 1 <= i < j <= n - 1). によって 次数nの 変換`P(x)`を計算します。 以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante` , `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_bipartite`。

  Package sym ·

関数: resolvante_bipartite (P, x)

  関数 によって 偶次数nの`P(x)`の変換を計算します。 x_1 x_2 ... x_[n/2] + x_[n/2 + 1] ... x_n.

      (%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
                    10        8           6             4
      (%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y

  以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_alternee1`.

  Package sym ·

関数: resolvante_diedrale (P, x)

  関数`x_1 x_2 + x_3 x_4`によって `P(x)`の変換を計算します。

      (%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
             15       12       11       10        9         8         7
      (%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x

              6         5          4          3          2
       - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x

       - 697

  以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante`。

  Package sym ·

関数: resolvante_klein (P, x)

  関数`x_1 x_2 x_4 + x_4`によって `P(x)`の変換を計算します。

  以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`。

  Package sym ·

関数: resolvante_klein3 (P, x)

  関数`x_1 x_2 x_4 + x_4`によって `P(x)`の変換を計算します。

  以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`。

  Package sym ·

関数: resolvante_produit_sym (P, x)

  多項式`P(x)`のすべての積解核のリストを計算します。

      (%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
              5      4             10      8       7       6       5
      (%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y

          4       3      2       10      8       7    6       5       4
       - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y

             3      2       5      4
       - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]

      (%i2) resolvante: produit$

      (%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);

      " resolvante produit "
             10      8       7    6        5       4       3     2
      (%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1

  以下も参照してください:

  `resolvante`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`。

  Package sym ·

関数: resolvante_unitaire (P, Q, x)

  多項式`Q(x)`によって 多項式`P(x)`の解核を計算します。

  以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`。

  Package sym ·

関数: resolvante_vierer (P, x)

  関数`x_1 x_2 - x_3 x_4`によって `P(x)`の変換を計算します。

  以下も参照してください:

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante`, `resolvante_diedrale`。

  Package sym ·

#### 30.2.7 Miscellaneous

関数: multinomial (r, part)

  ここでrは分割partの重みです。 この関数は、同類の多項係数を返します: もしpartの部分が i_1, i_2, ..., i_kなら、 結果は `r!/(i_1! i_2! ... i_k!)` です。

  Package sym ·

関数: permut (L)

  リストLの置換のリストを返します。

  Package sym ·Lists ·

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